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Problema limiti

In questa sezione avverranno le discussioni sulla scienza e sulle arti. Si possono chiedere pareri e spiegazioni o postare i propri pensieri a riguardo di un argomento. Qui potete postare spiegazioni su un qualsiasi argomento: matematica, chimica, lingue etc...

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Problema limiti

Messaggioda gumis » 15/11/2010 - 18:48

Sul mio libro di esercizi ho trovato questa equazione
leggenda:
sqrt= radice quadrata

lim sqrt(1+x)-1/x con x tendente a zero. Non riuscivo a risolverlo quindi ho guardato le soluzioni e a quanto sembra la soluzione è 1/2... Qualcuno può spiegarmi come si fa ad arrivare a tale conclusione?
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Re: Problema limiti

Messaggioda Al_Chiappone » 15/11/2010 - 21:20

se non sbaglio dovrebbe essere:

** = elevamento a potenza

(1+x)**n per x che tende a zero tende a 1+x*n

quindi

sqrt(1+x) = (1+x)**(1/2) che per x che tende a zero diventa 1+x/2

allora

(sqrt(1+x)-1)/x diventa (1+x/2-1)/x

semplificando

(x/2)/x = 1/2
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Re: Problema limiti

Messaggioda skary » 17/11/2010 - 00:13

gumis ha scritto:Sul mio libro di esercizi ho trovato questa equazione
leggenda:
sqrt= radice quadrata

lim sqrt(1+x)-1/x con x tendente a zero. Non riuscivo a risolverlo quindi ho guardato le soluzioni e a quanto sembra la soluzione è 1/2... Qualcuno può spiegarmi come si fa ad arrivare a tale conclusione?



Andando leggermente OT ti segnalo questo splendido strumento online , che ti potrà aiutare con questi problemi matematici ^_^

http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... 9-1%29%2Fx


(come vedi la simbologia è semplice) su show steps (vicino al limite e relativa soluzione) ti descrive ogni passo operativo , ogni eventuale limite notevole dimostrando ogni singolo passaggio.

E se desideri puoi esportare i risultati ottenuti in vari formati :P

Buon divertimento
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Re: Problema limiti

Messaggioda cyd » 17/11/2010 - 00:22

ma è sqrt(x+1) -1/x oppure (sqrt(x+1) -1 ) / x ??
comunque per questo genere di limiti devi pensare in termini di equivalenze asintotiche e di sviluppi in serie
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Re: Problema limiti

Messaggioda skary » 17/11/2010 - 10:02

cyd ha scritto:ma è sqrt(x+1) -1/x oppure (sqrt(x+1) -1 ) / x ??
comunque per questo genere di limiti devi pensare in termini di equivalenze asintotiche e di sviluppi in serie



Sicuramente la seconda , altrimenti non avresti un indeterminazione 0/0 che lui dice di avere , se fosse la prima avresti un 1 - inf = -inf
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Re: Problema limiti

Messaggioda gumis » 17/11/2010 - 14:15

Grazie a tutti per l'aiuto :D

Ieri mi sono svegliato a notte fonda è l'ho risolto moltliplicando sia sopra che sotto per (sqrt(1-x)+1) e con varie semplificazioni ho ottenuto 1/2.
Devo dormire più spesso :lol:

@skary
ficata :shock: grazie!! (un ottimo giochino per passare il tempo :D )
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Re: Problema limiti

Messaggioda cyd » 17/11/2010 - 17:25

skary ha scritto:
cyd ha scritto:ma è sqrt(x+1) -1/x oppure (sqrt(x+1) -1 ) / x ??
comunque per questo genere di limiti devi pensare in termini di equivalenze asintotiche e di sviluppi in serie



Sicuramente la seconda , altrimenti non avresti un indeterminazione 0/0 che lui dice di avere , se fosse la prima avresti un 1 - inf = -inf


la prima è risolvibile eccome,
sqrt(x+1) = 1+ x/2 + o(x) per x->0 sqrt(x+1) ~ 1 + x/2

qiondi hai che per x->0 f(x) = 1+x/2 -1/x +o(x) che per x->0 ~ -1/x
dunque
lim(x->0) (sqrt(x+1) -1/x) = lim(x->0) -1/x = infinito,

in particolare sarà -inf se vieni da x>0 e +inf se vieni da x<0

comunque la mia domanda trova giustificazione nel fatto che gumis ha effettivamente scritto la prima nella sua domanda
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Re: Problema limiti

Messaggioda gumis » 17/11/2010 - 20:05

Ho scritto male e mi scuso :)
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